نخبگان

مقاله ی دوم بعد چهارم

متاسفانه به دلیل مشکلات اینترنت این مقاله امروز منتشر نمبشود اما فردا در وبلاگ گذاشته میشود

توجه توجه

کتاب بعد چهارم تا چند هفته ی دیگر بر روی وبلاگ گذاشته و میتوانید به طور رایگان ان را دانلود کنید !

خدا نگهدار

|+| نوشته شده در یکشنبه بیست و نهم آذر 1388 ساعت 16:33 توسط عرفان عشوريون |

بعد چهارم

بنام خداوند جان و خرد

سلام اومدم که دوباره یه مطلب جدید بزارم برای علاقه مندان به علم شیرین ریاضی!

بعد چهارم!من نمیدونم چرا اینقدر انسان جاه طلبه!!هنوز ما اطلاعات کمی در مورد ۳ بعد داریم میخاهیم بریم سراغ چهار بعد!بیایید اول درباره ی یک بعد حرف بزنیم به نظر شما موجودات یک بعدی چه شکلی هستند!ان ها نقطه و خط هستند!میشه یه چیزی شبیه به این!

::ادامـه مـطـلـب::

|+| نوشته شده در سه شنبه بیست و چهارم آذر 1388 ساعت 16:27 توسط عرفان عشوريون |

دو کتاب

کتاب مفاهیم ریاضیات کتابی است راجع به مفاهیم اصلی ریاضی نه ان ریاضیاتی که پر شده است یک مشت عملیات پیچ در پیچ!این کتاب که توسط انتشارات خوارزمی به چاپ رسیده است دارای ۲۰ فصل است.

از قشنگترین فصل های ان میتوان به توپولوژی حرکت بدون جابجایی و ....اشاره کرد.

نویسنده ی این کتاب ایوان استیوارت از بزرگترین مقاله نویسان ریاضیات است.

کتاب دیگری که میخواهم معرفی کنم کتاب هندسه نسبیت و بعد چهارم است این کتاب توسط انتشارات انجمن فیزیک دانان ایران چاپ شده است .

این کتاب حاوی سر فصل هایی درباره ی نسبیت بعد چهارم سفر در زمان و ..است.

امید وارم این کتاب ها را بخوانید و از خواندن ان ها لذت ببرید.

خدانگهدار.

|+| نوشته شده در یکشنبه بیست و دوم آذر 1388 ساعت 12:50 توسط عرفان عشوريون |

مفاهیم ریاضیات

بنام خدا

نمیدانم تصور شما از ریاضیات چیست اما اگر هنوز همان تصور های قدیمی را دارید و فکر میکنید ریاضیات همان عملیات کورکورانه ای است که با نماد ها انجام میدهید سخت در اشتباهید زیرا ریاضیات واقعی جدا از این است واین تنها قسمت کوچکی از دنیای ریاضیات است !

ریاضیات واقعی چیست؟ان ریاضیی که ریاضی دانان با ان سر و کار دارند کجاست؟اگر این سوال ها برای شما هم پیش امده بهتره یه سری به کتاب مفاهیم ریاضیات جدید اثر ایوان استیوارت بزنید!

این کتاب که در 20 فصل چاپ شده است مفاهیم پایه و کاربردی ریاضیات را به زبانی بسیار ساده و شیوا بیان کرده است.

از جمله فصل های زیبا و کاربردی این کتاب میتوان به توپولوژی وتغییر مکان بدون حرکت وزبان مجموعه ها اشاره کرد.

نگران نباشید این کتاب نه سخت است نه از مفاهیم پیشرفته استفاده کرده است تنها نیاز به کمی دانش ریاضی در سطح اول دبیرستان میخواهد!

هم اکنون نسخه ی ایرانی این کتاب توسط جمشید پرویزی ترجمه و انتشارات خوارزمی ان را ارایه میدهد.

قیمت این کتاب نیز6000تومان میباشد.

امیدوارم ان را تهیه و از خواندن ان لذت ببرید!

|+| نوشته شده در چهارشنبه هجدهم آذر 1388 ساعت 8:34 توسط عرفان عشوريون |

عدد دوست!!

اعداد دوست :

عدد دوست در نظریه اعداد یک عدد طبیعی مثبت است که نسبت بین مقسوم علیه‌های آن عدد و خود عدد با یک یا چند عدد دیگر همانند است. دو عدد که در این خاصیت سهیم باشند یک زوج دوست نامیده می‌شوند. دسته‌های بزرگ‌تر اعداد دوست نیز وجود دارد. عددی که چنین دوستانی نداشته باشد عدد تنها نامیده می‌شود.

خاصیت مورد نظر عبارت است از عدد غیر موهومی σ(n) / n است که در آن σ نشان دهنده تابع تقسیم کننده (مجموع تمام مقسوم علیه‌ها) است. n یک عدد دوست است اگر n ≠ m باشد به طوری کهσ(m) / m = σ(n) / n .

اعداد ۱ تا ۵ همگی تنها هستند. کوچکترین عدد دوست ۶ است که زوج دوست (۲۸٬۶) که در ان ۶/(۶)σ مساویست با ۶ / (۶ + ۳ + ۲ + ۱) مساویست با ۲ همانطور که۲۸ / (۲۸)σ مساویست با ۲۸ / (۲۸ + ۱۴ + ۷ + ۴ + ۲ + ۱) مساویست با ۲. مقدار مشترک ۲ در این مورد یک عدد صحیح است اما در بسیاری از موارد چنین نیست.

مسائل حل نشده بسیاری در رابطه با اعداد دوست وجود دارد. به‌رغم مشابهت نام، هیچ رابطه خاصی بین اعداد دوستانه یا اعداد اجتماعی وجود ندارد. هر چند تعریف این دو نیز شامل تابع تقسیم است.

تابع تقسیم

اگر n یک عدد مثبت طبیعی باشد (σ(n جمع مقسوم علیه‌های ان است . مثلا ۱۰ به ۵، ۲ ،۱ و ۱۰ بخش پذیر است و لذا σ(۱۰) = ۱ + ۲ + ۵ + ۱۰ = ۱۸

قرابت و دوستی

قرابت یا (K(n برای یک عدد مثبت طبیعی n به صورت عدد غیر موهومی σ(n)/n تعریف می‌شود مثلا κ(۱۰) = ۱۸/۱۰ = ۹/۵. کلمه قرابت و نشانه (K(n کاربرد‌های استاندارد نیستند و در اینجا فقط برای تسهیل بیان به کار رفته‌است. اعدادی که قرابت آن‌ها مثل هم باشد دوست هستند مثلا K(۴۹۶) = K(۲۸) = K(۶)=۲ اعداد ۶، ۲۸ و ۴۹۶ همه کامل هستند و بنابراین دوست هستند به عنوان مثالی دیگر : (۳۰ و ۱۴۰) یک زوج دوستی هستند از آنجا که(K(۳۰) =K(۱۴۰ :

دوست بودن یک رابطه هم ارزی است و لذا شامل تقسیم اعداد صحیح به دسته‌هایی از اعداد دوست هست .

اعداد تنها:

اعدادی که به یک دسته واحد تعلق دارند چون عدد دوست دیگری نیستند اعداد تنها هستند.

همه اعداد اول و توانهایشان کامل هستند، به طور عام تر هر جا اعداد n و(σ(n اول هستند به این معنا که بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن‌ها ۱ است به طوری که σ(n)/n یک تابع کاهش نا پذیر است عدد n تنهاست . برای یک عدد اول p داریم σ(p) = p + ۱ که مانند p عدد اول است .روشی عمومی برای این که بفهمیم یک عدد کامل است یا تنها وجود ندارد.

کوچکترین عددی که طبقه بندی آن معلوم نیست (تا سال ۲۰۰۷) ۱۰ است و حدس زده می‌شود که تنها باشد اگر نباشد کوچکترین دوست آن یک عدد نسبتا بزرگ خواهد بود.

دسته‌های بزرگ:

این مسئله باقی است که ایا دسته‌های بی نهایت بزرگ اعداد دوست وجود دارد؟ اعداد کامل یک دسته را تشکیل می‌دهند و حدس زده می‌شود که بی نهایت عدد کامل وجود دارد .(دست کم به اندازه تعداد اعداد اول مرسن) اما دلیلی برای ان نداریم . تا سال ۲۰۰۸ ،۴۴ عدد کامل شناخته شده‌است که بزرگترین انها ۱۹ میلیون رقم در سیستم ده دهی دارد . دسته‌های دیگری با اعداد شناخته شده بیشتر به خصوص آن‌هایی که از اعداد کامل چند گانه تشکیل می‌شوند که اعدادی هستند که قرابت آن‌ها عدد صحیح است. تا اوایل سال ۲۰۰۸ دستهٔ اعداد دوست با قرابت مساوی ۹ ، ۲۰۷۹ عدد شناخته شده بوده‌است گرچه می‌دانیم برخی از انها بسیار بزرگ هستند دسته‌های اعداد کامل چند جانبه (به استثنای خود اعداد کامل) حدس زده می‌شود که متناهی باشد

|+| نوشته شده در یکشنبه هفدهم آبان 1388 ساعت 11:37 توسط عرفان عشوريون |

عدد فرما

اعداد فرما :

عدد فرما عدد صحیح و مثبتی است بصورت

که در آن n عددی صحیح و غیر منفی است.

اگر چنین عددی اول هم باشد آنرا «عدد اول فرما» می نامند.

این اعداد را بنام پییر دو فرما نام‌گذاری کرده‌اند.

اگر 2m + 1 اول باشد، می‌توان نشان داد m = 2n.

اثبات (با عکس نقیض): فرض کنید m توانی از 2 نباشد، بنابراين m دارای یک شمارنده فرد مانند 2k + 1 (بزرگ‌تر از یک) است. بنابراین
m = (2k + 1)r

حال خواهیم داشت که 2m + 1 با استفاده از اتحاد دارای تجزیهٔ غیر بدیهی می‌شود. که این خلاف اول بودن این عدد است، پس این عدد به صورت

است. بنابراین هر عدد اولی که بصورت 2m + 1 باشد، عدد فرما است.

فرما که اغلب حدس‌هایش برای ریاضیدانان در خور توجه و قابل اعتماد بود مشاهده کرد که با گذاشتن چند عدد ۰ و ۱ و ۲ و ۳ و ۴ به جای n در فرمول بالا F اول است.

در سال ۱۷۳۲ اویلر نشان داد که (5)F مرکب است. تاکنون فقط به ازای n =0,...,۴ عدد اول فرما یافت شده است

|+| نوشته شده در یکشنبه هفدهم آبان 1388 ساعت 11:31 توسط عرفان عشوريون |

نویسنده:عرفان عشوریون

گروه مقاله:

سطح متوسطه-

رياضيات و سرگرمي ها(متوسطه)-

این مقاله تا بحال 1487 مرتبه مشاهده شده است .

افقی
1 - اگر nضلعی منتظم محاط در دایره به شعاع R دارای مساحت باشد،nبرابرچند است - عددهای ناصفرb ، a وc تصاعدی حسابی تشکیل می دهند .اگر1واحدبهaیا2واحدبهcبیفزاییم تصاعدی هندسی به دست می آید.دراین صورت bبرابر چنداست؟
2 - زاویه های یک پنج ضلعی یک تصاعد حسابی تشکیل می دهند یکی از این زاویه ها بر حسب درجه برابر است باچند. - دریک تصاعد عددی آن گاه، چند است؟
3- به فرض مقدار X+Yچند است؟
4- از دستگاه معادلات   مقدار   چند است؟
5- اگر بر تقسیم پذیرباشد ، مقدار چند است. - ذره ای به صورت قائم به بالا پرتاب می شود وبر طبق     پس از t ثانیه به ارتفاع s می رسد بیش ترین مقدار s چند است؟
6- زاویه ی بین دو بردار   و چند است.
عمودی
1- تکرار یک عدد است. - در یک تصاعد هندسی مجموع هشت جمله ي اول 10برابر مجموع چهار جمله ی اول آن است .جمله ی نهم چند برابر جمله ی اول است.
2- دو برابر اولین عدد اول سه رقمی - دوبردارOA,OBبه طول های مساوی با محورOXبه ترتیب زوایای و درجه می سازند، زاویه ی بردار با محورOXچند درجه است.
3- دستگاه معادلات خطی جواب منحصر به فرد دارد، رابیابید.
4- در دنباله ی(رشته) اعداد به جایXعددی قرار می گیرد که حاصل، یک تصاعد حسابی می گردد 4X را بیابید.
5- شش خط که هیچ دو تای آن ها موازی نیستند وهیچ سه تای آن ها از یک نقطه نمی گذرند در یک صفحه رسم شده اند ،این شش خط، صفحه را به چند ناحیه تقسیم کرده اند. -
6- درمثلث ABD زاویه یB قائمه است . نقطه ی C رویAD به طوری است که AC=CD, AB=BC زاویه یDABچند درجه است ؟

|+| نوشته شده در سه شنبه دوازدهم آبان 1388 ساعت 15:43 توسط عرفان عشوريون |

جايزه ي نوبل و رياضي دانان

آلفرد نوبل (1896-1833) در سوئد به دنيا آمد و در روسيه بزرگ شد، او شيمي و فن آوري را در فرانسه و ايالات متحده آموخت. نوبل مخترع ديناميت بود...

ساعت 07:44:06 I ۱۳۸۷ پانزدهم فروردين

نویسنده:مريم حيدري

گروه مقاله:

سطح متوسطه-

جوايز رياضي-

این مقاله تا بحال 992 مرتبه مشاهده شده است .

جايزه‌ي نوبل و رياضي دانان:

آلفرد نوبل (1896-1833) در سوئد به دنيا آمد و در روسيه بزرگ شد، او شيمي و فن آوري را در فرانسه و ايالات متحده آموخت. نوبل مخترع ديناميت بود.

از سال 1901 نوبل جايزه‌اي را بنيان نهاد كه در پنج رشته‌ي فيزيك، شيمي، فيزيولوژي يا پزشكي، ادبيات و صلح هر ساله اهدا مي‌شود كه به نام خود او ناميده شد.

در سال 1968، جايزه‌ي ششم در اقتصاد به اين جايزه ها اضافه شد و توسط بانك سوئد به مناسبت جشن سيصدمين سالگردش اهدا گرديد.

آكادمي علوم سلطنتي سوئد برندگان جايزه براي رشته‌هاي فيزيك، شيمي، پزشكي، ادبيات و اقتصاد را انتخاب مي‌كند،موسسه ي نوبل در كارولينسكا جايزه در رشته‌ي پزشكي و موسسه ي نوبل نروژ جايزه صلح را اهدا مي‌كنند.

مقدار جايزه از سالي به سال ديگر متغير است، در سال 2003 مقدار جايزه 10ميليون كرون سوئد در حدود 3/1 ميليون دلار بود.

نوبل جايزه را براي رياضيات قرار نداد. بعضي‌ها علّت را در اين مي‌دانند كه وي يك مخترع و صنعتگر بود و رياضي را علمي صرفاً نظري مي‌دانست و معتقد بود جايزه بايد به اموري اختصاص داده شود كه عملاً بيش‌ترين خدمت را به بشريّت ارائه مي‌دهند. بعضي هم علّت اين امر را در خصومت شخصي وي با رياضي‌دان مشهور سوئدي گوستاميتاگ-لفلر (Gosta Mittage-leffler) مي‌دانند كه البتّه گواه تاريخي قابل استنادي در اين مورد در دست نيست و اين درحد شنيده‌هاست.

امّا چند رياضي‌دان به خاطر فعّاليت‌هايشان در علوم ديگري چون اقتصاد، فيزيك و حتي ادبيات مفتخر به دريافت جايزه ي نوبل گرديده‌اند.
در اين‌جا رياضي‌داناني كه تاكنون مفتخر به دريافت جايزه ي نوبل در سال‌هاي گوناگون شده‌اند را آورده‌ايم.

1) سال 1902 لورنتز Lorentz (فيزيك)
2) سال 1904 راي لي Rayleigh (فيزيك)
3) سال 1911 وين Wien(فيزيك)
4) سال 1918 پلانك Planck(فيزيك)
5) سال 1921 اينشتين Einstein (فيزيك)
6) سال 1922 بور Bohr(فيزيك)
7) سال 1929 دِبورخلي de Broglie (فيزيك)
8) سال 1932 هايزنبرگ Heisenberg(فيزيك)
9) سال 1933 شرودينگرSchroedinger(فيزيك)
10) سال 1933 ديراك Dirac(فيزيك)
11) سال 1945 پاولي Pauli(فيزيك)
12) سال 1950 راسل Russell(ادبيات)
13) سال 1954 بورن Born(فيزيك)
14) سال 1962 لانداو Landau (فيزيك)
15) سال 1963 ويگنر Wigner(فيزيك)
16) سال 1965 شوينگرSchwinger(فيزيك)
17) سال 1965 فاينمن Feynman(فيزيك)
18) سال 1969 تينبرگن Tinbergen(اقتصاد)
19) سال 1975 كانترويچ Kantorovich(اقتصاد)
20) سال 1983 چاندراسكار Chandrasekhar(فيزيك)
21) سال 1994 سِلتن Selten(اقتصاد)
22) سال 1994 نَش Nash(اقتصاد)

البتّه امروزه براي قدرداني از زحمات رياضي‌دانان جوايز مختلفي درنظر گرفته شده، ازجمله جايزه‌ي آبل كه به نوبل رياضي‌دانان مشهور است و دولت نروژ از سال 2001 اقدام به اهداي آن به رياضي‌دانان نموده است. اين جايزه از نظر مادي با جايزه‌ي نوبل برابري مي‌كند. امّا جايزه‌ي ديگري كه از لحاظ معنوي با جايزه‌ي نوبل برابري مي‌كند، مدال فيلدز است كه اوّلين بار در سال 1936 در نروژ اهدا شد.

|+| نوشته شده در سه شنبه دوازدهم آبان 1388 ساعت 15:41 توسط عرفان عشوريون |

كوتاه ترين مسير روي استوانه

دراین مقاله می خواهیم روشي براي به دست آوردن کوتاه ترين مسير بين دو نقطه ي دلخواه كه روي سطح استوانه اي شكلي هستند ، ارائه كنيم ...

ساعت 06:17:13 I ۱۳۸۸ هفتم ارديبهشت

نویسنده:صديقه اسكندري راد

گروه مقاله:

سطح راهنمائی-

هندسه (راهنمائي)-

این مقاله تا بحال 2540 مرتبه مشاهده شده است .

دراین مقاله می خواهیم روشي براي به دست آوردن کوتاه ترين مسير بين دو نقطه ي دلخواه كه روي سطح استوانه اي شكلي هستند ، ارائه كنيم .

دو نقطه ي A و B را روی سطح استوانه درنظر می گیریم.عمودهای ، را برقاعده ي استوانه وارد می کنیم . طول های دو عمود و و کمان (كمان كوچك تر را در نظر بگيريد.)از قاعده ي استوانه را اندازه می گیریم و آن هارا به ترتیب c,b,a می نامیم .

ذوزنقه ي قائم الزاویه ي را که در آن طول های به ترتیب برابر c,b,a می باشند و هم چنین نيم خط که موازی است را درنظر می گیریم . پاره خط را به وسیله ي نقطه هاي و .... به n قسمت مساوی تقسیم می کنیم . از این نقطه ها ،خط هایی موازی با رسم می کنیم ونقطه هاي برخورد آن ها را با به ترتیب: و ..... و با نيم خط به ترتیب : و.... می نامیم .

طبق قضیه ي تالس در مثلث داریم :

(چون نقطه ها را روی پاره خط با فاصله هاي مساوی انتخاب کرده ایم .)
نسبتي كه با نوشتن رابطه اي نظير رابطه ي اخير درمثلث به دست مي آيد، است و.... درمثلث این مقدار به می رسد . پس داریم :

برروی کمان

از قاعده ي استوانه، نقطه هاي

و.... را چنان انتخاب می کنیم(شكل 1) که طول کمان های

و... برابر طول پاره خط های

و...ازشکل (2) باشد . روی مولدهایی از استوانه که از نقطه هاي

و ...می گذرند ، طول های

و... را انتقال می دهیم .
نقطه هاي E,D,C,...كه به اين روش بر سطح استوانه به دست می آیند ، تعداد زیادی نقطه از كوتاه ترين مسير ممكن بين نقطه هاي B,A را مشخص مي كنند . هر چقدر n بزرگ تر باشد با دقت بهتري مي توان كوتاه ترين مسير را رسم كرد .

|+| نوشته شده در سه شنبه دوازدهم آبان 1388 ساعت 15:39 توسط عرفان عشوريون |

مدل جمعيت

در این مقاله هدف ما،بررسی ساده ترین مدل جمعیت است.یعنی مدل جمعیت یک بعدی تعینی...

ساعت 04:24:05 I ۱۳۸۸ بيست و يکم ارديبهشت

نویسنده:پانيذ نوري اسكوئي

گروه مقاله:

سطح متوسطه-

آمار و مدل سازي-

این مقاله تا بحال 2749 مرتبه مشاهده شده است .

در این مقاله هدف ما،بررسی ساده ترین مدل جمعیت است.یعنی مدل جمعیت یک بعدی تعینی.(یعنی فرض می کنیم فقط یک نوع جمعیت باشد و در آن عوامل تصادفي موثر نیستند.)

ما قبل از بیان فرمول مدل جمعیت، مثال زیر را مطرح می کنیم:

مثال:متخصصان بر این باورند که زمین های قابل کشت وزرع، حداکثر می تواند غذای 40 میلیارد انسان را تامین کند،در آغاز سال 1990میلادی جمعیت جهان2/5میلیارد نفر تخمين زده شد . اگر جمعیت با میزان رشد ثابت 2% در سال افزایش یابد،در چه زمانی جمعیت به حداكثر میزان ذکر شده خواهد رسید؟

حل:

2/5 = جمعیت اولیه به میلیارد
02/0 = نرخ رشد= r
جمعیت در سال میلیارد
جمعیت در سال میلیارد
جمعیت بعد ازn سال میلیارد

حال قرار می دهیم: وn را با لگاریتم گرفتن از طرفین به دست می آوریم :

در نتيجه : .

یعنی در سال 2093=103+1990 جمعیت به 40 میلیارد نفر می رسد.ما در این مثال، نرخ رشد جمعیت را سال به سال محاسبه کردیم.حال رشد جمعیت را در پايان هر ماه حساب مي کنیم،در مثال بالا نرخ رشد در ماه برابر با :

می شود.

جمعیت بعد از یک ماه میلیارد
جمعیت بعد از دو ماه میلیارد
جمعیت در سال 1991= میلیارد
جمعیت بعد از n سال = میلیارد

جمعیت در سال میلیارد

حال اگر جمعیت را روز به روز محاسبه کنیم،نرخ رشد دریک روز برابر با:

می شود.

جمعیت بعد از یک سال میلیارد
جمعیت بعد ازn سال= میلیارد

جمعیت در سال 2093 برابر با :

میلیارد می شود.

حال اگر جمعیت را در هر ساعت محاسبه کنیم،نرخ رشد جمعیت در یک ساعت برابراست با: .

جمعیت در سال 2093 برابر است با:

اگر جمعیت را در هر ثانیه حساب کنیم،جمعیت در سال 2093 بیش تر می شود و به 799/40میلیارد نفر نزدیک می شود.
برای دیدن علت این امر بهتر است به مطلب زیر توجه کنیم:

دنباله ی را در نظرمی گیریم.این دنباله را برای مقدار های مختلف n محاسبه می کنیم:

قضیه: موجود است و آن را عدد e مي ناميم .

...71828182/2=e حال فرض می کنیم نرخ رشد جمعیتr باشدو جمعیت اولیه را با و جمعیت بعد از t سال را با نشان مي دهیم.اگر جمعیت را سال به سال محاسبه کنیم:

و اگر جمعیت را در سال محاسبه کنیم:

یعنی بعد ازt سال درصورتی که در هر سال، جمعیت را محاسبه کنیم،جمعیت به دو متغیر t (زمان) و n (تعداد تقسیمات زمان)بستگی دارد.بنابر این با نشان می دهیم:

حال اگر n را بزرگ و بزرگ تر کنیم،یعنی محاسبه ی جمعیت را در مدت زمان های کوتاه تری انجام دهيم ،مدل ما به مدل واقعی جمعیت نزدیک و نزدیک تر می شود.یعنی اگر n را به سمت بی نهایت میل دهیم ،جمعیت در هر لحظه محاسبه می شود.این مدل را مدل پیوسته می نامیم و آن را با نشان می دهیم.یعنی:

با فرض ،اگر آن گاه .بنابراین .

اما : .

و می توان نشان داد که (توجه : x لزوما" طبيعي نيست) :

بنابراین .

یعنی مدل جمعیت پیوسته به صورت زیر است:

در این جا r می تواند منفی نیز باشد.یعنی جمعیت یک کشور،سرمایه و... می تواند نزول کند.زمانی که r مثبت باشد، مدل را مدل رشد و زمانی که r منفی باشد ، مدل زوال گوییم.

مجددا" به محاسبه ي جمعیت در مثال ذکر شده در سال 2093 می پردازیم:

میلیارد نفر

بنابراین :

میلیارد نفر .

بنابراین اولین محاسبه که سال 2093 به عنوان سالی است که کره ی زمین جایی برای زیستن ندارد، صحیح نیست. این سال را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

میلیارد نفر

و از آن جا : .

یعنی سال موعود با توجه به رابطه ي : 2092=102+1990، سال 2092است

|+| نوشته شده در سه شنبه دوازدهم آبان 1388 ساعت 15:38 توسط عرفان عشوريون |